図形問題につまずくあなたへ：面積比の攻略法を徹底解説！
図形問題につまずくあなたへ：面積比の攻略法を徹底解説！
この記事では、図形問題、特に直角三角形の面積比に関する問題でつまずいているあなたに向けて、具体的な解決策を提示します。問題の解き方を丁寧に解説し、理解を深めるためのステップを提示することで、あなたの数学力、ひいては問題解決能力の向上を目指します。
図のように、<C=90°の直角三角形ABCがある。辺AB,辺AC上の点をそれぞれP,Qとするとき、PQ//BCである。また、<ABCの2等分線と、PQを延長した直線との交点をR,BRとACの交点をTとする。次の問いに答えなさい。BC=8cm, PQ=2cm, AB=12cm, BP=9cm である時、△PBRと△BCTの面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。という問題です。解説みても、よく分からなかったのでやり方詳しく、教えてください。お願いします。補足すみません。
図形問題、特に面積比を求める問題は、多くの人がつまずきやすい分野です。しかし、基本的な考え方を理解し、手順を踏んで解くことで、必ず克服できます。今回の問題は、直角三角形の性質、相似、二等辺三角形の性質など、様々な知識を組み合わせることで解くことができます。一つずつ丁寧に見ていきましょう。
1. 問題の全体像を把握する
まずは、問題で与えられた情報を整理し、何を求めれば良いのかを明確にしましょう。今回の問題では、△PBRと△BCTの面積比を求めることが目標です。そのためには、それぞれの三角形の面積を求める必要があります。しかし、直接面積を求めるのではなく、相似比や辺の比を利用して面積比を求めるのが効率的です。問題文に書かれている条件を整理すると、以下のようになります。
- 直角三角形ABC（<C=90°）
- PQ // BC
- PQ = 2cm
- BC = 8cm
- AB = 12cm
- BP = 9cm
- BRは<ABCの二等分線
これらの情報から、相似な三角形を見つけたり、辺の長さを求めたりすることで、面積比を求めるための手がかりを得ることができます。
2. 相似な三角形を見つける
図形問題では、相似な三角形を見つけることが非常に重要です。相似な三角形を見つけることで、辺の比を利用して、未知の辺の長さを求めたり、面積比を求めたりすることができます。今回の問題では、PQ // BCという条件から、相似な三角形を見つけることができます。
△APQと△ABCは相似です。なぜなら、
- <PAQ = <BAC（共通）
- <APQ = <ABC（同位角）
- <AQP = <ACB（同位角、90°）
したがって、△APQ ∽ △ABCです。相似比を求めるために、対応する辺の長さを比較します。PQ = 2cm、BC = 8cmなので、相似比はPQ : BC = 2 : 8 = 1 : 4です。つまり、△APQの辺の長さは、△ABCの辺の長さの1/4ということになります。
3. 辺の長さを求める
次に、必要な辺の長さを求めていきましょう。まず、AB = 12cm、BP = 9cmなので、AP = AB – BP = 12 – 9 = 3cmです。△APQと△ABCの相似比が1 : 4なので、AP : AB = 1 : 4となります。このことから、AP = 3cmは、AB = 12cmの1/4であることがわかります。
次に、△PBRと△BCTの辺の長さを求めるために、二等辺三角形の性質を利用します。BRは<ABCの二等分線なので、<ABR = <CBRです。また、PQ // BCなので、<CBR = <PRB（錯角）です。したがって、<ABR = <PRBとなり、△PBRは二等辺三角形です。
二等辺三角形の性質から、PB = PR = 9cmとなります。
4. 面積比を求める
これで、△PBRと△BCTの面積比を求めるための準備が整いました。まず、△PBRの面積を求めます。△PBRは二等辺三角形であり、底辺PR = 9cm、高さはPQの長さを利用して求めることができます。
△ABCと△APQは相似であり、相似比は4：1です。高さの比も4：1なので、△ABCの高さをhとすると、△APQの高さはh/4となります。△ABCの高さは、BCを底辺とすると、面積から逆算できます。
△ABCの面積 = (1/2) * BC * AC
ACを求めるために、三平方の定理を使います。
AB^2 = BC^2 + AC^2
12^2 = 8^2 + AC^2
144 = 64 + AC^2
AC^2 = 80
AC = 4√5
△ABCの面積 = (1/2) * 8 * 4√5 = 16√5
△APQの面積 = (1/16) * △ABCの面積 = √5
△PBRの高さは、△ABCの高さから△APQの高さを引いたものなので、
h – h/4 = 3h/4
△PBRの高さは、△ABCの高さの3/4倍となります。
△PBRの面積 = (1/2) * PR * 高さ
△PBRの面積を求めるには、まず△ABCの高さhを求めます。
△ABCの面積 = (1/2) * BC * 高さ
16√5 = (1/2) * 8 * 高さ
高さ = 4√5
△APQの高さ = 4√5 / 4 = √5
△PBRの高さ = 4√5 – √5 = 3√5
△PBRの面積 = (1/2) * 9 * (3√5) = (27√5)/2
次に、△BCTの面積を求めます。△BCTの高さは、△ABCの高さから△APQの高さを引いたものなので、3√5です。
CTの長さを求めるために、相似比を利用します。
△APQ ∽ △ABC
AP : AB = AQ : AC = 1 : 4
AQ = AC / 4 = (4√5) / 4 = √5
AT = AC – CT
CT = 3/4 * AC = 3√5
△BCTの面積 = (1/2) * CT * 高さ
△BCTの面積 = (1/2) * 3√5 * 8 = 12√5
△BCTの面積 = (1/2) * CT * BC
△BCTの面積 = (1/2) * 3√5 * 8 = 12√5
△BCTの面積 = 12√5
△PBRの面積と△BCTの面積の比を求めます。
(27√5)/2 : 12√5
27/2 : 12
27 : 24
9 : 8
したがって、△PBRと△BCTの面積比は9 : 8です。
5. 面積比を求めるための別解
面積比を求める方法は、一つではありません。別の方法で考えてみましょう。
△PBRと△BCTは、高さが等しい三角形です。したがって、面積比は底辺の比に等しくなります。
PB = 9cm
CT = 3√5
△PBRと△BCTの面積比 = PB : CT = 9 : 3√5
PB : CT = 9 : 3√5 = 3 : √5
この方法では、CTの長さを正確に求める必要があります。
6. 練習問題を解く
理解を深めるためには、実際に問題を解いてみることが重要です。今回の問題と同様に、相似や二等辺三角形の性質を利用する問題を解いてみましょう。
例えば、以下のような問題があります。
「図のように、直角三角形ABCがあり、<C=90°、AB=10cm、BC=6cmである。辺AB上に点Dをとり、CD⊥ABとなるようにする。このとき、△ACDと△BCDの面積比を求めよ。」
この問題では、相似な三角形を見つけ、辺の比を利用して面積比を求めることができます。
7. まとめ
今回の問題を通して、図形問題、特に面積比を求めるための基本的な考え方と手順を学びました。
まず、問題で与えられた情報を整理し、何を求めれば良いのかを明確にすること。
次に、相似な三角形を見つけ、辺の比を利用すること。
二等辺三角形などの性質を利用して、辺の長さを求めること。
最後に、求めた辺の長さや比を利用して、面積比を求めること。
これらのステップを踏むことで、どんな図形問題でも、必ず解けるようになります。
諦めずに、一つずつ問題を解いていくことが大切です。
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